教学内容

教科书P67。

教学目标

1.理解并掌握自行车“蹬一圈走多远”的计算方法，探索变速自行车的速度与其内在结构的关系。

2.经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——实际应用”的解决问题的基本过程，获得解决问题的思考方法，进一步学习建模思想。

3.通过解决问题感受数学的应用价值，培养学生运用数学的意识。

教学重点

研究普通自行车的速度与其内在结构的关系以及变速自行车能变化出多少种速度。

教学难点

研究普通自行车的前、后齿轮的齿数与它们的转数的关系。

教学准备

课件，指定部分学生课前测量结果。

教学过程

一、出示自行车图片，揭示课题

课件出示图片。

师：我们国家是一个自行车大国，每天马路上来往的自行车熙熙攘攘。其实自行车里包含许多的数学知识。

【教学提示】

虽然在生活中学生都见过自行车，但从数学的角度来研究自行车里的问题，学生是第一次，应鼓励学生大胆提出问题，带着问题进入学习。

师：你想了解自行车里的哪些数学知识？

【学情预设】预设1：我想知道自行车蹬一圈能走多远？

预设2：自行车是后轮带动前轮，还是前轮带动后轮？

预设3：为什么前后两个齿轮有大有小？

预设4：变速自行车是怎么变速的呢？

……

师：今天我们就一起研究自行车里的数学。(板书课题：自行车里的数学)

【设计意图】开门见山，引导学生用数学的眼光观察自行车，鼓励学生提出想探究的问题，激发学生的学习兴趣。

二、研究普通自行车的速度与内在结构的关系

1.提出问题。

师：知道一辆自行车蹬一圈能走多远吗？怎样解决这个问题呢？

【学情预设】学生可能会说：通过直接测量来解决问题，或者观察蹬一圈时车轮转几圈，再用车轮转的圈数乘车轮周长就可以了。第一种方法学生容易想到，第二种方法，学生可能会想到是蹬踏板一圈，车轮转几圈，而不易想到前齿轮转一圈，后齿轮转几圈的问题。

2.分析问题，探索方法。

(1)交流比较，优化方法。

师：课前，我请几位同学对一辆自行车蹬一圈所行路程进行了独立测量，请他们来汇报一下测量结果。

【学情预设】学生的汇报可能结果各不相同。此时，教师要引导学生反思原因——测量不太准确导致误差很大，进而引导学生关注第二种方法。这时需要知道：蹬一圈时车轮转的圈数和车轮的直径或半径。

(2)观察发现问题关键。

师：要想知道自行车蹬一圈能走多远，我们还得了解自行车的结构和行进原理。

【教学提示】

“前齿轮转一圈时，后齿轮转几圈”是解决问题的关键，也是本节课的难点。教学中分两个层次进行，第一个层次逐步引导学生从自行车的内部结构出发，去思考探究“蹬一圈，车轮转动的圈数”这个未知条件；第二个层次通过生动的动态演示，将研究“蹬一圈，车轮转动的圈数”转化为研究“前齿轮转一圈时，后齿轮转动的圈数”。注意让学生经历数学知识的形成过程，充分体验、领悟、探究，逐步完善建模的过程。

(课件播放自行车行进的动画，请学生仔细观察并讨论。)

【学情预设】学生能观察到踏板蹬一圈，只是前齿轮转一圈，车轮转动的圈数实际就是后齿轮转动的圈数。个别学生说出来后，教师应强化。咱们再看一次课件展示，看是不是这样。

师：照这样分析，解决问题的关键是：蹬踏板一圈即前齿轮转一圈，而此时后齿轮转几圈呢？怎样才能知道呢？

(3)观察研究，建立数学模型。

师：前、后两个齿轮通过链条连接在一起。前齿轮转动一个齿，链条怎么动？后齿轮怎么动？

(课件出示自行车踏板慢慢转动一圈，学生观察前、后齿轮之间的传动关系。)

【学情预设】学生能观察到链条间的孔与前、后两个齿轮的每一个齿一一对应，前齿轮转动一个齿，后齿轮也一定转动一个齿。

师：前、后齿轮的齿数与它们的转数有什么关系？

【学情预设】思维水平较高的学生会先说出，前齿轮转动一圈的长度就是链条走过的长度，后齿轮也要转动同样的长度，所以前齿轮的齿数×前齿轮的转数=后齿轮的齿数×后齿轮的转数。此时，教师不要急于表态，让学生多说一说。

（根据学生的回答板书：前齿轮的齿数×前齿轮的转数=后齿轮的齿数×后齿轮的转数）

师：大家已经知道，自行车蹬一圈，也就是前齿轮转一圈，那么后齿轮的转数怎么表示？

小组讨论后交流总结。

【学情预设】学生根据比例的基本性质，推理说明：前齿轮转动一圈时，后齿轮转数=。

教师根据学生回答板书。

师：那么自行车蹬一圈走的距离怎么计算？

【学情预设】自行车蹬一圈的距离=×车轮周长

教师根据学生的回答板书。

【设计意图】教学时，密切联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，引导学生开展观察、操作、推理等活动，获得基本的数学知识和技能。

3.运用模型，解决问题。

出示课件。

【学情预设】根据自行车蹬一圈的距离=×车轮周长，第(1)题是0.8π×=10.048(m)，第(2)题是0.8π×=7.536(m)。

【设计意图】这一环节，让学生经历了“提出问题——思考方案——观察分析——找到解决问题关键——进一步观察研究——建立数学模型——利用模型解决问题”的过程，在问题导向下引导学生学会思考的方法，积累良好的思考经验和解决问题的经验。

三、研究变速自行车能变化出多少种速度

1.问题导入。

师：我们解决了A、B两辆自行车蹬一圈行多少米的问题。如果是你，愿意骑哪辆自行车？为什么？

【学情预设】学生会说出选择A车，因为同样蹬一圈，A车行的距离长。教师追问：仔细观察，为什么同样蹬一圈，A车行的距离长呢？引导学生观察到两辆自行车的车轮直径相同，车轮的周长相等，前齿轮的齿数也相同，区别在于后齿轮的齿数不同。

师：其实这也是变速自行车能变速的原因，下面我们就来研究变速自行车的速度的变化吧！

2.小组研究，探究规律。

师：这辆变速自行车，有2个前齿轮和6个后齿轮，它能变化出多少种速度呢？（出示课件）

【学情预设】学生会说6×2=12(种)。教师此时不作评价。

学生以小组为单位讨论交流，完成教科书P67的表格。

师：观察前、后齿轮齿数的比值，你认为这辆变速自行车能变化出12种速度吗？

【学情预设】预设1：有2种组合的比值是一样的。

预设2：应该是12种组合，11种速度。

师：再想一想，蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？

【学情预设】指导学生说出：蹬同样的圈数，前、后齿轮的齿数的比值越大，自行车走得越远。(板书：蹬同样的圈数，变速自行车前、后齿轮的齿数的比值越大，走得越远。)

【设计意图】再次经历“分析问题——建立数学模型——求解”的过程，培养学生综合运用所学知识，积累活动经验，提高应用意识的能力。

四、拓展延伸，实际应用

师：自行车里蕴含着丰富的数学问题，变速自行车的发明大大解决了我们面对不同路况的需要。你觉得在上坡时怎样搭配前、后齿轮更合理？请同学们课后思考并解决此问题。

【教学提示】

学生在小组内交流时，教师要及时巡视指导，提醒学生将前轮齿数与后轮齿数的比化简为最简比，再通过比较比值的大小得出结论。

【设计意图】使学生了解数学与生活的广泛联系，还可以培养学生从不同的角度发现实际问题中所包含的数学信息的能力。从省力的角度考虑，上坡的时候应该前小轮，后大轮。

五、课堂小结

师：通过今天的学习活动，你们发现了自行车里运用到以前学过的哪些数学知识？(圆的周长、排列组合、比例等)你有哪些收获？

教学反思

学生学习本节课的主要障碍在于对自行车的内部结构和驱动原理缺乏了解，对所研究的问题本身存在认识上的误区，无法从数学的角度在“蹬一圈”和“走多远”之间建立起联系。在教学中，引导学生分析问题，观察得到“蹬一圈就是前齿轮转一圈”“车轮转动的圈数实际是后齿轮转动的圈数”，从而找到解决问题的关键：“当前齿轮转一圈时，后齿轮转几圈？”接下来引导学生重点研究这个问题，数学模型伴随着这个关键问题的解决而得到完善。

但由于自行车的行进是一个复杂的问题，存在观察难、操作难等特点，所以建议将综合实践活动(例如变速自行车的速度的变化)延伸到课外，课堂上研究的结论还需要去体验、验证。让学生亲身体会到：前、后轮齿数的比值大的组合走得就远，车速较快，但骑车人较费力；前、后轮齿数的比值小的组合走得就近，车速较慢，但骑车人较省力。