数学中求任意曲线下的面积，都必须用到微积分，而微积分中最简单最实用的曲线就是抛物线Y=X^2，你口算都可以知道X^2的不定积分是X^3/3。

这么简单的东西，为什么还要重提呢？因为本篇告诉你一种全新的方法。来解释X^2的不定积分为什么等于X^3/3，这种方法是非常优美和直观。被称为可视化微积分

如下图是一个X^2的几何图形，我们在图形外面作一个外接矩形，如下图所示

首先运用最简单的几何知识，我们知道抛物线的斜率是2X，那么切线与X轴交点的横坐标就是X-X^2/2X=X/2，这是一个很重要的结论，因为抛物线X^2任一点的切线与X轴交点的横坐标都是X/2

我们将抛物线下的面积分为两部分S和T，求二次曲线X^2的不定积分就是求:S+T

我们将抛物线的切线延长至与Y轴相交，你会发现切线与外接矩形组成的直角三角形和切线与Y轴相交时组成的直角三角形相似而且全等，因为所有的边之比都是：1:1

我们由抛物线上每个点的切线而得到一个重要结论：被X轴分割成两段的切线长度相等，所以X轴上半部分抛物线的切线区域与整个切线区域的面积(与Y轴和抛物线相交的区域)之比是：1:4。 即，整个切线区域的面积(与Y轴和抛物线相交的区域)的面积是4S

所以我们得到4S=S+T ，S=T/3

因为T是直角三角形，面积等于X^3/4， 那么S区域的面积就是T/3=X^3/12

所以抛物线下的面积就是：S+T=X^3/4+X^3/12=X^3/3 这与微积分得到的结果完全一致