两联两解是什么原因(两联的意思)

这题难度不大，因为解法有很多种，非常适合给学生练习一题多解，拓展思维用。下面就逐一将解法奉上。

方法一。如下图，直接设边长为x

根据ed^2+df^2=9得到

(x-根号(25-x^2))^2 + (x-根号(16-x^2))^2 = 9

解题过程比较复杂，多次平方除根号，最终获得8次方程，消去8次和6次项，得到一个数字很大(超过100000000)的四次方程，再变成关于x^2的二次方程，用二次求根公式，计算无误结果应该是x^2=256/17。

方法二。如下图，设边长为a，fc=x，ae=y。

有

a^2+x^2=16

a^2+y^2=25

(a-x)^2+(a-y)^2=9

三式联解，解出x=1/4a， y=13/16a，a=16/根号17。

方法三。如下图，设边长为a，de=x，df=y。

参考上图阴影部分的面积有如下关系

1/2ax +1/2ay - 1/2xy = 3*4/2

即a(x+y)-xy=12

另外还有几个等式

x^2+y^2=9，相当于(x+y)^2-2xy=9

(a-x)^2+a^2=25

(a-y)^2+a^2=16

以上四式联解，无需计算x，y。消去x，y即可的a平方。

方法四。如下图，设角abe为α，角ebf为θ，角fbc为β。

有

sinθ=cos(α+β)=3/5

5cosα = 4cosβ=a

联解两式，求出cosα，然后求出a，再求a^2。这个方法算比较简单。

方法五。如下图，作辅助线bd。设角ebd为α，角dbf为β。

依正弦定理，有如下关系

ed/sinα=5/sin45

df/sinβ=4/sin45

又

cos(α+β)=4/5

又

ed^2+df^2=9

联解，求出sinα，然后通过正弦定理求出正方形对角线db，db^2/2即正方形面积。

方法六。这就是老师希望我们用的方法了吧，这个方法可以秒解这题。看下图

两个阴影三角形相似，得

df/bc=3/4

得

fc/bc=1/4

所以

a^2+(1/4a)^2=4*4

得a^2=256/17，

即为题目所求。