1.2 设问还要注意能引起学生学习兴趣,激学生学习动机,复数开方是高中数学一大难点,学生对它一般不感兴趣。教学中我曾设问:“由于负数开平方,出现了虚数i,如果让i或-i再开平方,又会出现么样的新数呢?——如j、k?”一石击起千层浪,全班学生坐立不安了,唧唧咋咋,恨不得马上就要知道结论。1.3 检查学生已学过的知识是否真懂了,选择适当问题尤为重要。一个鸡蛋约重50( ),一斤这样的鸡蛋约有( )个。目的是检查他对重量单位的理解与换算。一开始他填一个“两”字。再一想,不对(比西瓜重),于是改为“钱”字(半斤重的鸡蛋!)。1.4 检查学生对数学定义是否掌握往往是一件索然无味的事,但如果问题选择得好,就能改变这种状况。“叙述正多边形的定义。”——这样设问不一定好,会造成学生死记硬背而且不一定真懂。改为下列问题试试看:(1)如果内接于圆的多边形是等边的,则它是正多边形;(2)如果内接于圆的多边形是等角的,则它是正多边形;(3)如果外切于圆的多边形是等边的,则它是正多边形;(4)如果外切于圈的多边形是等角的,则它是正多边形。1.5 对立体几何中的棱柱下定义,总觉得啰嗦:“有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。”(见现行立体几何教材)根据棱柱的定义,课本又证明“棱柱的侧面是平行四边形”等性质。与其要求学生背诵上述定义和侧面性质,不如与学生商讨下列问题:能否将棱柱的定义(打开教材)简述为“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,由这些面所围成的几何体叫做棱柱”?这样定义不仅简明,而且“棱柱的侧面是平行四边形”这一性质也勿须证明了。又是一石击起千层浪,全班同学认识上发生极大冲突:一部分同学同意,另一部分不同意,但谁也说服不了谁。1.6 此外,随时改变定理或习题的部分条件,让学生猜测结论的变化,或引导学生对所研究的问题加以拓广,常能收到事半功倍,激发学生学习兴趣和好胜心,培养学生学习能力和创造能力之效。问题的提法常表现出教学艺术性,这可能也是G·波利亚认为“尤为重要”并要教师花费更大精力的原因之一。2.1 “是几位数?用对数计算。”学生对此不甚关心。换一种提法,效果就大不一样。
“某人听到一则谣言后一小时内传给两人,此两人在一小时内每人又分别传给两人,如此下去,一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗?”起先,谁都认为这是办不到的事。通过认真计算,发现确能传遍。(你相信吗?)问题出人意料之外,但结论又在情理之中,这样的发问最能引起学习兴趣。(传谣速度惊人,影响极坏!)2.2 “三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”,这样提问意义不大。如果连续发问(见图1):
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“你认为∠ACD大于∠B吗?为什么?
“你认为∠ACD大于∠B吗?为什么?
“你认为∠ACD大于∠B吗?为什么?
“∠B是一个不变的量,而我们考虑的与之比较的角是一个逐次变小的量,你仍旧认为∠ACD大于∠B吗?
“如果让这种现象一直保持下去,最后会出现什么结论?”学生的空间想象能力不仅得到发展,而且对该定理的理解又十分具体,深信不疑。2.3 “已知两个同心圆的半径,求圆环面积。”这是每个学生都会解的问题。“比赤道长10米的圆,它比赤道圆面积大多少?——有人估猜大不了一丁点,(周长只长出10米嘛!)可有人估猜用多出的面积来创办一所大学还绰绰有余哩!你的意见呢?”每个学生总想实际算一下,证实自己的猜想。这件工作不做完,他们是不会罢休的。2.4 书本上习题所给出的条件总是一个不多,一个不少。例如,已知圆台的上、下底面半径和高,求圆台的侧面积,学生只要把数据代入公式,问题就解决。但这样一来,就把高中课降为初中课。我曾经换一种提法:“要计算一个圆台形漏斗的侧面积,应测量哪几个数据?”有些学生就觉得这种题颇费脑筋。2.5 让学生求图2中的阴影面积,这当然容易(只要用大圆面积减去两个小圆面积之和)。如果把提法改变一下,便十分有意义:“图2中有4个量(两个小圆半径,大圆半径R. 以及两个小圆的公切线在大圆内的长t),为了计算阴影面积,这4个量中至少要测知几个?”
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我想,你的答案是至少要测知两个量(否则图形不固定),但是很出人预料,只要测知一个量就可以了。(你一定还是不相信,那就请你自己试一试吧。)把问题安排好是煞费苦心的事。这与母亲为孩子安排食物一样,要注意何时需要吃什么,安排要能引起食欲。既要做到膳食平衡,又要顾及孩子口味、喜好,等等。这也是教学艺术。3.1 三角形全等的判定定理刚学过,当然要安排用定理直接证明三角形全等的习题。这是处于模仿的学习阶段。往后,或进入复习阶段时,就要安排下面一系列较难“消化”的问题让学生自己去判定:(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗?(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗?(3)有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形一定全等吗?(4)一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗?(5)面积和周长对应相等的两个直角三角形一定全等吗?(6)面积和周长对应相等的两个三角形一定全等吗?(给能力较强的学生)3.2 同一种类型的练习太多,学生便乏味。这时就应该安排一点灵活性稍大的问题给学生。“有一个整数加上100,得出一个平方数,如果加上168,得出另一个平方数。这个数是多少?”对学过因式分解和方程组的初中学生,这是一道饶有趣味的练习。让我们也来解一下:三个未知数,只有两个方程。这一点将引起积极思维(或紧张情绪)。但“x、y、z为整数”这一点或者有所补救。再解下去:3.3 在学生学完“行程”应用题的基础上,安排下面这道题对全面培养学生分析问题的能力也有所裨益:“一个人步行5小时。先是走平路,接着上坡,然后转身,沿同一条路返回到出发点。他在平路上,每小时走4英里,上坡每小时走3英里,下坡每小时走6英里,求步行的总距离。”“分析一下,这个问题能解吗?——数据不足,不知道走平路的时间,也不知道走上(或下)坡的时间。估计问题不确定。你同意这种分析吗?”还是让我们具体去解:令x代表步行的总距离,y代表上坡路的长度。路分四段(依次为平路、上坡、下坡、平路),于是有两个未知数,只有一个方程。性急的学生这时进一步确信“问题不确定”。然而,耐心地算下去,在归并同类项时却发现的系数原来是0。于是剩下的是思维敏捷的学生,往往又伴随着“性急”。上面的两次分析表明这类学生是存在的。对他们。还可以安排这样似非而是的问题:性急的学生会立即高喊:“错了!对数符号是不能约去的。”其实,这个等式是成立的,不信你也去研究一番,但不能性急。(1.4)(i)(1) (4)真;(2)、(3)伪,(ii)全真。(1.5)不能同意。例如,把两个全等的平行六面体颠倒过来放叠在一起(图3),就不是棱柱。![](https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-tjoges91tu/SthAsQu4GRlK3P~tplv-tt-large.image?x-expires=1969602194&x-signature=PH%2FK%2F%2BTO9FLA8JrQeK6%2FXFTaZnI%3D)
(3.1) (1)不一定,(2)不一定,(3)一定;(4)不一定,(5)一定;(6)不一定。![](https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-tjoges91tu/SibVZHH56Kxojw~tplv-tt-large.image?x-expires=1969602194&x-signature=j%2BnGmik12IHgDKor2AuoJwoVDu4%3D)